Question

（10分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB．

【小題1】（1）試說明：PB是⊙O的切線；
【小題2】（2）已知⊙O的半徑為，AB＝2，求PA的長．

Answer 1

【小題1】解：（1）連接OB，OP,交AB于點D

∵⊙O是Rt△ABC的外接圓，
∴AC是⊙O的直徑．……1分
又∵PA與⊙O相切，∴∠OAP＝90°……2分
∵OA＝OB，PA＝PB，OP＝OP
∴△OAP≌△OBP……4分
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，即OB⊥BP.
又∵點B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線.……5分
【小題2】(2)∵∠ABC＝∠OBP＝90°,∴∠OBC＝∠ABP
又∵OC＝OB，PA＝PB, ∴∠OCB＝∠OBC＝∠ABP＝∠BAP∴△OCP∽△PAB……6分
∴ 即……7分
而在Rt△ABC中, AB＝2,AC＝2∴BC＝2……8分
∴PA＝……9分

解析