Question

（2013•奉賢區(qū)一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：△FDC∽△FBD；
（2）求證：

DF

BF

=

AC

BC

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根據(jù)∠F=∠F證△FBD∽△FDC，即可；
（2）由（1）可知FBD∽△FDC，所以

DF

BF

=

DC

BD

，由已知條件可證明△BDC∽△BCA所以

DC

BD

=

AC

BC

即

DF

BF

=

AC

BC

．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠FDC=∠B，
∵∠F=∠F，
∴△FBD∽△FDC；

（2）∵△FBD∽△FDC，
∴

DF

BF

=

DC

BD

，
∵△BDC∽△BCA，
∴

DC

BD

=

AC

BC

，
∴

DF

BF

=

AC

BC

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是由相似得到比例式．