Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x=O和x=4時(shí)，y的值相等．直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為線段OM上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q．若點(diǎn)P在線段OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合，但可以與點(diǎn)M重合），設(shè)OQ的長為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請(qǐng)求出S的最大值，并指出點(diǎn)Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請(qǐng)簡要說明理由；
（4）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，是否存在t的某個(gè)值，能滿足PO=OC？如果存在，請(qǐng)求出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）x=O和x=4時(shí)，y的值相等，即可得到函數(shù)的對(duì)稱軸是x=2，把x=2和x=3分別代入直線y=4x-16就可以求出拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并且其中一點(diǎn)是頂點(diǎn)，利用待定系數(shù)法，設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式一般形式，就可以求出函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法可以求出直線OM的解析式，設(shè)OQ的長為t，即P，Q的橫坐標(biāo)是t，把x=t代入直線OM的解析式，就可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到PQ的長，四邊形PQCO的面積S=S_△COQ+S_△OPQ，很據(jù)三角形的面積公式就可以得到函數(shù)解析式；
（3）從圖象可看出，隨著點(diǎn)P由O→M運(yùn)動(dòng)，△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大，即S不斷變大，顯當(dāng)然點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，S最值；
（4）在直角△OPQ中，根據(jù)勾股定理就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵當(dāng)x=0和x=4時(shí)，y的值相等，
∴c=16a+4b+c，（1分）
∴b=-4a，
∴x=-=-=2
將x=3代入y=4x-16，得y=-4，
將x=2代入y=4x-16，得y=-8．（2分）
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-8
將點(diǎn)（3，-4）代入，得-4=a（x-2）²-8，
解得a=4．
∴拋物線y=4（x-2）²-8，即y=4x²-16x+8．（3分）

（2）設(shè)直線OM的解析式為y=kx，將點(diǎn)M（2，-8）代入，得k=-4，
∴y=-4x．（4分）
則點(diǎn)P（t，-4t），PQ=4t，而OC=8，OQ=t．
S=S_△COQ+S_△OPQ=×8×t+×t×4t=2t²+4t（5分）
t的取值范圍為：0＜t≤2（6分）

（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，四邊形PQCO的面積S有最大值．
從圖象可看出，隨著點(diǎn)P由O→M運(yùn)動(dòng)，△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大，
即S不斷變大，顯然當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，S值最大（7分）
此時(shí)t=2時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB的中點(diǎn)上（8分）
因而S=×2×8+×2×8=16．
當(dāng)t=2時(shí)，OC=MQ=8，OC∥MQ，
∴四邊形PQCO是平行四邊形．（9分）

（4）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，存在t=，能滿足PO=OC（10分）
設(shè)點(diǎn)P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t．
由勾股定理，得OP²=（4t）²+t²=17t²．
∵PO=OC，
∴17t²=8²，t₁=＜2，t₂=-（不合題意）
∴當(dāng)t=時(shí)，PO=OC．（11分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．注意數(shù)與形的結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．