Question

在等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，連接BD，直線l與線段BA、BD、BC分別相交于點(diǎn)E、P、F，且∠BPF=60°．
（1）如圖1，寫出圖中所有與△BDC相似的三角形，并選擇其中一對(duì)給予證明；
（2）若直線l向右平移，與線段BA、BD、BC或其延長線分別相交于E、P、F，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出一個(gè)與圖1位置不盡相同的圖形（其它條件不變），此時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出來（不證明），若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）探究：如圖1，當(dāng)BD滿足什么條件時(shí)（其它條件不變），△BPE的面積是△BPF的面積的2倍？請(qǐng)寫出探究結(jié)果，并說明理由．（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）．

Answer 1

分析：（1）△EFB和△BDC相似：∠ABC=∠C=60°，∠BEP=∠DBC=60°-∠ABD；△BPF和△BDC相似：∠PBF=∠CBD，∠BPF=∠C=60°；由前面可知△BDC∽△BFP．
（2）結(jié)論均成立，證法同（1）．
（3）如果△BPE的面積是△BPF的面積的2倍，那么PE=2PF，根據(jù)（1）中得出的△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB，因此△BFP∽△EFB，那么EF：BF=BF：PF，BF²=EF•PF，BF=2PF，又有BE：BP=EF：BF，BF=

3

PF，因此BF：PF=

3

=tan60°，而∠BPF=60°，所以∠BFP=90°，∠PBF=30°，因此∠EBP=30°，因此BD平分∠ABC．

解答：解：（1）△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．
以△BDC∽△BFP以為例，證明如下：
∵∠C=∠BPF=60°，∠CBD=∠PBF，
∴△BDC∽△BFP．

（2）結(jié)論均成立，△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．

（3）BD平分∠ABC時(shí)，△BPE的面積是△BPF的面積的2倍．
證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=

1

2

PB．
又∵∠BEP=∠PBE=30°，
∴PE=PB．
∴PF=

1

2

PE．
∴△BPE的面積是△BPF的面積的2倍．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，（3）中根據(jù)相似三角形得出相關(guān)線段的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．