Question

已知：直線y=-

3

3

x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正三角形ABC，⊙O′為△ABC的外接圓，與x軸交于另一點(diǎn)E．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求過(guò)點(diǎn)C與AB中點(diǎn)D的一次函數(shù)的解析式．
（3）求過(guò)E、O′、A三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

（1）∵直線y=-

3

3

x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（

3

，0），B（0，1），
在Rt△ABO中，
∵AB=

OA2+OB2

=2，
∴tan∠BAO=

1

3

=

3

3

，
∴∠BAO=30°
又∵△ABC是等邊三角形
∴AC=AB=2，∠BAC=60°，
∴∠OAC=90°
∴CA∥OB，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，2）；

（2）∵D是AB的中點(diǎn)，過(guò)D作DF∥OB，交OA于F，
則DF=

1

2

OB=

1

2

，OF=

1

2

OA=

3

2

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

），
設(shè)過(guò)C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
則

3 k+b=0 3 2 k+b= 1 2

，解得

k= 3 b=-1

，
∴所求一次函數(shù)的解析式為y=

3

x-1；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，
∵△ABC是等邊△，
∴BH是AC的垂直平分線，
∴BF過(guò)點(diǎn)O′，
∵B（0，1），
∴當(dāng)y=1時(shí)，x=

2 3

3

∴O′（

2 3

3

，1），
∵CA∥BO，BH⊥AC，
∴BH⊥OB，且過(guò)⊙O′半徑的外端，
∴OB是⊙O′的切線，
∴OB²=OE•OA，即1=OE•

3

，解得OE=

3

3

，
∴E（

3

3

，0），
設(shè)過(guò)E、O′、A三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得

3a+ 3 b+c=0 4 3 a+ 2 3 b 3 +c=1 1 3 a+b+c=0

解得

a=-3 b=4 3 c=-3

∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-3x²+4

3

x-3．