Question

【題目】如圖1，已知：拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過B、C兩點的直線是y=x-2，連結(jié)AC．

（1）B、C兩點坐標分別為B（ ， ）、C（ ， ），拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 ；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFC（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）？若能，求出在AB邊上的矩形頂點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 4，0，0，-2，y=x2-x-2；（2）△ABC是直角三角形．理由見解析；（3）D（-，0），（2，0）．

【解析】

試題分析：（1）先利用一次函數(shù)解析式和坐標軸上點的坐標特征確定C點和B點坐標，然后把C點和B點坐標代入y=x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；

（2）先解方程x2-x-2=0確定A（-1，0），再利用兩點間的距離公式計算出AC2=5，BC2=20，AB2=25，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△ABC是直角三角形；

（3）分類討論：當矩形DEFG頂點D在AB上時，點F與C重合，如圖1，設(shè)CG=x，證明△AGD∽△ACB，利用相似比得到DG=（-x），根據(jù)矩形面積公式得到S矩形DEFG=-x2+x，則利用二次函數(shù)的性質(zhì)可確定x=時，矩形DEFG的面積最大，最大值為；當矩形DEFG兩個頂點D、E在AB上時，如圖2，CO交GF于H，設(shè)DG=x，則OH=x，CH=2-x，通過證明△CGF∽△CAB，利用相似比得到GF=（2-x），則S矩形DEFG=-x2+5x，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到x=1時，矩形DEFG的面積最大，最大值為，然后比較兩個面積的最大值得到矩形DEFG兩個頂點D、E在AB上時，矩形的面積最大，接下來利用相似比計算此時OD，從而得到OE的長，于是得到它們的坐標．

試題解析：（1）當x=0時，y=x-2=-2，則C（0，-2），

當y=0時， x-2=0，解得x=4，則B（4，0），

把B（4，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c得，解得，

所以拋物線解析式為y=x2-x-2，

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：

當y=0時，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=4，則A（-1，0），

∵AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=52=25，

∴AC2+BC2=5+20=25=AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；

（3）能．

當矩形DEFG頂點D在AB上時，點F與C重合，如圖1，設(shè)CG=x，

∵DG∥BC，

∴△AGD∽△ACB，

∴AG：AC=DG：BC，即（-x）：=DG：2，解得DG=（-x），

∴S矩形DEFG=x（-x）=-x2+x=-（x-）2+，

此時x=時，矩形DEFG的面積最大，最大值為，

當矩形DEFG兩個頂點D、E在AB上時，如圖2，CO交GF于H，設(shè)DG=x，則OH=x，CH=2-x，

∵GF∥AB，

∴△CGF∽△CAB，

∴GF：AB=CH：CO，即GF：5=（2-x）：2，解得GF=（2-x），

∴S矩形DEFG=x（2-x）=-x2+5x=-（x-1）2+，

此時x=1時，矩形DEFG的面積最大，最大值為，

綜上所述，當矩形DEFG兩個頂點D、E在AB上時，矩形的面積最大，如圖2，

∵DG=1，

∴DE=×（2-1）=，

∵DG∥O，

∴△ADG∽△ACO，

∴AD：AO=DG：OC，即AD：1=1：2，解得AD=，

∴OD=，

∴OE=-=2，

∴D（-，0），（2，0）．