Question

如圖拋物線y=ax²+ax+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)為A、B（A在B的左邊）且AB=3，與y軸交于C，若拋物線過(guò)點(diǎn)E（-1，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸的下方是否存在一點(diǎn)P使得△PBC的面積為3？若存在求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，不存在說(shuō)明理由；
（3）若D為原點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1.5），將△CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與BF是否存在某種關(guān)系（數(shù)量、位置）？請(qǐng)指出并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=ax²+ax+c（a≠0）的對(duì)稱軸是x=-

a

2a

=-

1

2

，又因與x軸的交點(diǎn)為A、B（A在B的左邊）且AB=3，求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，解決第一問；
（2）因?yàn)镾_△ABC=3，△PBC的面積是3，說(shuō)明P點(diǎn)一定在過(guò)A點(diǎn)平行于BC的直線上，且一定是與拋物線的交點(diǎn)，因此求出過(guò)A點(diǎn)的直線，與拋物線聯(lián)立進(jìn)一步求得答案；
（3）連接DC、BC，證明三角形相似，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問題．

解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�y=ax²+ax+c（a≠0）的對(duì)稱軸是x=-

a

2a

=-

1

2

，AB=3，
所以A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）、（1，0），
又因?yàn)镋（-1，2）在拋物線上，
代入y=ax²+ax+c
解得a=-1，c=2，
所以y=-x²-x+2；

（2）如圖
過(guò)A作BC的平行線交拋物線于點(diǎn)P，
∵設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
B點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為；（0，2），
∴

b=2 k+b=0

，
∴y=-2x+2，
∵A作BC的平行線交拋物線于點(diǎn)P，
∴y=-2x+b，將（-2，0）代入解析式即可得出，
所以過(guò)A點(diǎn)的直線為y=-2x-4，
∴兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為：
由-x²-x+2=-2x-4，
解得x₁=-2（舍去），x₂=3，
所以與拋物線的交點(diǎn)P為（3，-10）；

（3）連接DC、BC，
DC=2

5

，BC=

5

，CE=1，CF=0.5，
得

BC

CD

=

CF

CE

=

1

2

而夾角∠DCE=∠BCF，
∴△CDE∽△CFB，而∠ECF=90°，
∴DE⊥BF且DE=2BF．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式、待定系數(shù)法、圖形的旋轉(zhuǎn)、相似三角形，滲透數(shù)形結(jié)合思想．