Question

20、中國百雞問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一．百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？

Answer 1

分析：設(shè)雞翁、雞母、雞雛分別為x、y、z，則有$left{{egin{array}{l}{x+y+z=100}\{5x+3y+frac{z}{3}=100}end{array}} ight.$，通過消元，將問題轉(zhuǎn)化為求二元一次不定方程的非負(fù)整數(shù)解．

解答：解：設(shè)買公雞x只，買母雞y只，買小雞z只，那么根據(jù)已知條件列方程，有：
x+y+z=100…（1）
5x+3y+z/3=100…（2）
（2）×3-（1），得
14x+8y=200
即，7x+4y=100…（3）
顯然x=0，y=25符合題意，得，
所以，x=0，y=25，z=75；
在（3）式中4y和100都是4的倍數(shù)：
7x=100-4y=4（25-y），
因此7x也是4的倍數(shù)，7和4是互質(zhì)的，也就是說x必須是4的倍數(shù)；
設(shè)x=4t，
代入（3）得，y=25-7t
再將x=4t與y=25-7t 代入（1），有：z=75+3t，
取t=1，t=2，t=3就有：
x=4，y=18，z=78或x=8，y=11，z=81或x=12，y=4，z=84；
因為x、y、z都必須小于100且都是正整數(shù)，所以只有以上三組解符合題意：
①買公雞12只，母雞4只，小雞84只；
②或買公雞8只，母雞11只，小雞81只；
③或買公雞4只，母雞18只，小雞78只．

點評：本題主要考查了二元一次不定方程的應(yīng)用，注意：方程變形后的隱含條件，互質(zhì)數(shù)的應(yīng)用，以及正整數(shù)的取值范圍必須使本題由意義．