觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4

將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

（1）猜想并寫出：
1
n(n+1)
=
 
．
（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
2009×2010
=
 
； ②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
 
．
（3）探究并計(jì)算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2008×2010
=
 
．
分析：根據(jù)題中所給的等式，找出規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行推廣．得出問題答案．
解答：解：（1）根據(jù)：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
可知：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
(n+1)
；

（2）①
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
2009×2010
，
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2009
-
1
2010
=
2009
2010
，
②進(jìn)而推廣：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
，
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
，
=1-
1
n+1
=
n
n+1
；

（3）
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2008×2010
，
=
1
2
（
1
2
-
1
4
）+
1
2
（
1
4
-
1
6
）+…+
1
2
（
1
2008
-
1
2010
），
=
1
2
（
1
2
-
1
2010
），
=
251
1005
．
點(diǎn)評：本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，主要是從題中找到規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

（1）猜想并寫出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（2）計(jì)算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并寫出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
=
2008
2009
2008
2009
；
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
．
（3）探究并計(jì)算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2006×2008
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

附加題：
（1）已知|a-2|+|b+6|=0，則a+b=
-4
-4
．
（2）觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，將以上三個(gè)等式相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
①猜想并寫出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
②直接寫出結(jié)果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007
．
（3）在數(shù)軸上有兩點(diǎn)，它們到原點(diǎn)的距離分別是2和3，問這兩點(diǎn)之間的距離是多少？
（4）求|
1
2
-1|+|
1
3
-
1
2
|+…+|
1
99
-
1
98
|+|
1
100
-
1
99
|的值．
（5）如圖所示，數(shù)軸上有四點(diǎn)A，B，C，D分別表示有理數(shù)a，b，c，d，用“＜”把表示a，b，c，d，|a|，|b|，-|c|，-|d|的數(shù)連接起來．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，將以上三個(gè)等式相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并寫出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接寫出結(jié)果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列等式：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007
；
（2）探究并計(jì)算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2006×2008
．

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同步練習(xí)冊答案