Question

已知關于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）
（1）求證：這個方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）如果這個方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需證明根的判別式恒大于0即可．
（2）把等號左邊整理（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9，再把一元二次方程根與系數(shù)的關系代入列出方程解則可．
解答：解：（1）判別式△=（2m-1）²-4m（m-2）
=4m²-4m+1-4m²+8m
=4m+1
∵m＞0
∴4m+1＞0
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）由韋達定理得
x₁+x₂=
x₁x₂=
所以（x₁-3）（x₂-3）=5m
x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m
-3×+9=5m
兩邊同時乘以m并化簡
m-2-6m+3+9m=5m²
5m²-4m-1=0
（5m+1）（m-1）=0
解得m=1或m=-（舍去）
經(jīng)檢驗m=1是方程的根．
所以m的值是1．
點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系及根的判別式，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．