Question

【題目】如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4）．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D，直線過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標；

（3）連接OF，OE，探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）點F的坐標為（2，4）．（3）∠AOF=∠EOC．見解析

【解析】試題分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，把點E（3，4）代入即可求出k的值，進而得出結(jié)論；

（2）由正方形AOCB的邊長為4，故可知點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．由于點D在反比例函數(shù)的圖象上，所以點D的縱坐標為3，即D（4，3），由點D在直線y=﹣x+b上可得出b的值，進而得出該直線的解析式，再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標；

（3）在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．設(shè)直線EG的解析式為y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直線EG的解析式，故可得出H點的坐標，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5，可知OH=OE，即OG是等腰三角形底邊EF上的中線．所以OG是等腰三角形頂角的平分線，由此即可得出結(jié)論．

解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式y=，

∵反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4），

∴4=，即k=12．

∴反比例函數(shù)的解析式y=；

（2）∵正方形AOCB的邊長為4，

∴點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．

∵點D在反比例函數(shù)的圖象上，

∴點D的縱坐標為3，即D（4，3）．

∵點D在直線y=﹣x+b上，

∴3=﹣×4+b，解得b=5．

∴直線DF為y=﹣x+5，

將y=4代入y=﹣x+5，得4=﹣x+5，解得x=2．

∴點F的坐標為（2，4）．

（3）∠AOF=∠EOC．

證明：在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H．

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，

∴△OAF≌△OCG（SAS）．

∴∠AOF=∠COG．

∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，

∴△EGB≌△HGC（ASA）．

∴EG=HG．

設(shè)直線EG：y=mx+n，

∵E（3，4），G（4，2），

∴，解得，．

∴直線EG：y=﹣2x+10．

令y=﹣2x+10=0，得x=5．

∴H（5，0），OH=5．

在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5．

∴OH=OE．

∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線．

∴OG是等腰三角形頂角的平分線．

∴∠EOG=∠GOH．

∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=∠EOC．