Question

附加題：
在黑板上寫著2000個數(shù)：1，2，3，…，2000，每次允許擦去兩個數(shù)a、b （a≥b）并寫上a-b、

ab

、

ab

這三個數(shù)（即

ab

寫兩遍），如此進行8000次后得到了10000個數(shù)，問：這10000個數(shù)能否都小于500？

Answer 1

分析：由于a2+b2=(a-b)2+(

ab

)2+(

ab

)2，所以黑板上所有數(shù)的平方和是始終不變的．再推出1²+2²+3²+…+2000²的取值范圍，即可推出該市的取值范圍．

解答：解：由于a2+b2=(a-b)2+(

ab

)2+(

ab

)2，
所以黑板上所有數(shù)的平方和是始終不變的．
而一開始時，所有數(shù)的平方和為
1²+2²+3²+…+2000²
=

1

6

×2000×2001×4001 ＞

1

6

×2000×2000×4000=2.666…× 10⁹
＞2.5×10⁹
=500²×10000．
因此，黑板上不能是10000個小于500的數(shù)．

點評：本題考查了有理數(shù)、無理數(shù)的概念與運算，操作中變化的量很多，若不能抓住其萬變之“宗”，便很難下手．經(jīng)過觀察與試驗，我們發(fā)現(xiàn)它的不變量是平方和．