Question

如圖，邊長為a的正方形ABCD和邊長為b的正方形BEFG排放在一起，O₁和O₂分別是兩個正方形的中心，則陰影部分的面積為

 

，線段O₁O₂的長為

 

．

Answer 1

分析：陰影部分的面積可以看成兩個三角形面積之和，所以求2個三角形面積即可；線段O₁O₂的長根據(jù)勾股定理求解．

解答：解：做O₁H∥AE，使O₂H⊥O₁H，交BG于P，K點，
（1）BP=

1

2

a，
又∵O₂H⊥HO₁，
∴KP∥HO₂，
∴△PKO₁∽△HO₂O₁，
∴

KP

HO2

=

PO1

HO1

=

a

a+b

，
KP=

a

a+b

×

b-a

2

=

ab-a2

2(a+b)

，
陰影部分的面積=

1

2

×BK×（

a+b

2

）=

1

2

×[

a

2

+

ab-a2

2(a+b)

]×

a+b

2

=

2ab

8

=

ab

4

；

（2）HO₁=

a+b

2

，HO₂=

b-a

2

，
根據(jù)勾股定理O₁O₂=

HO12+HO22

=

a2+b2 2

=

1

2

2(a2+ b2)

．
故答案為：

ab

4

；

1

2

2(a2+ b2)

．

點評：本題考查的相似三角形的證明即對應邊比例相等的性質，三角形面積的計算，考查了根據(jù)勾股定理計算直角三角形斜邊的應用，解決本題的關鍵是構建直角三角形HO₁O₂．