已知,△ABC為等邊三角形,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合).以AD為邊作菱形ADEF,使∠DAF=60°,連接CF.
(1)如圖1,當點D在邊BC上時,
①求證:∠ADB=∠AFC;②請直接判斷結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立;
(2)如圖2,當點D在邊BC的延長線上時,其他條件不變,結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立?請寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;
(3)如圖3,當點D在邊CB的延長線上時,且點A、F分別在直線BC的異側(cè),其他條件不變,請補全圖形,并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系.

【答案】分析:(1)此題只需由AB=AC,AD=AF,∠BAD=∠CAF,按照SAS判斷兩三角形全等得出∠ADB=∠AFC;
(2)此題應(yīng)先判斷得出正確的等量關(guān)系,然后再根據(jù)△ABD≌△ACF即可證明;
(3)此題只需補全圖形后由圖形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系.
解答:解:(1)①證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠DAF=60°,
∴∠BAC=∠DAF,
∴∠BAD=∠CAF,
∵四邊形ADEF是菱形,∴AD=AF,
在△ABD和△ACF中
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴△ABD≌△ACF,
∴∠ADB=∠AFC,
②結(jié)論:∠AFC=∠ACB+∠DAC成立.

(2)結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立.
∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關(guān)系是∠AFC=∠ACB-∠DAC.
證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=AC,
∠BAC=60°,
∵∠BAC=∠DAF,
∴∠BAD=∠CAF,
∵四邊形ADEF是菱形,
∴AD=AF.
在△ABD和△ACF中
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴△ABD≌△ACF.
∴∠ADB=∠AFC.
又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC,
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC.

(3)補全圖形如下圖:

∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關(guān)系是:∠AFC=2∠ACB-∠DAC
(或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及這兩個等式的正確變式).
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),綜合性較強,同學(xué)們應(yīng)好好掌握.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

24、已知,△ABC為等邊三角形,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合).以AD為邊作菱形ADEF,使∠DAF=60°,連接CF.
(1)如圖1,當點D在邊BC上時,
求證:∠ADB=∠AFC;②請直接判斷結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立;
(2)如圖2,當點D在邊BC的延長線上時,其他條件不變,結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立?請寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;
(3)如圖3,當點D在邊CB的延長線上時,且點A、F分別在直線BC的異側(cè),其他條件不變,請補全圖形,并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知:△ABC為等邊三角形,D、F分別為射線BC、射線AB邊上的點,BD=AF,以AD為邊作等邊△ADE.
(1)如圖①所示,當點D在線段BC上時:
①試說明:△ACD≌△CBF;②判斷四邊形CDEF的形狀,并說明理由;
(2)如圖②所示,當點D在BC的延長線上時,判斷四邊形CDEF的形狀,并說明理由.
(3)當點D在射線BC上移動到何處時,∠DEF=30°,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:△ABC為等邊三角形,邊長為2cm,求等邊△ABC的面積是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:△ABC為等邊三角形,點M是射線BC上任意一點,點N是射線CA上任意一點,且BM=CN,直線BN與AM相交于Q點
(1)觀察圖中是否有全等三角形?若有,直接寫出:
△ABM≌△BCN
△ABM≌△BCN
;(寫出一對即可)
(2)求∠BQM的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:△ABC為等邊三角形,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA上的點,且AD:DB=BE:EC=CF:FA.△ABC∽
△DEF
△DEF

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