Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，內(nèi)切圓O與邊BC、AC、AB分別切于D、E、F．
（1）求證：BF=CE；
（2）若∠C=30°，CE=2，求AC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AF=AE，再結(jié)合AB=AC，得到BF=CE；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和切線長(zhǎng)定理，得到D是BC的中點(diǎn)，從而得到A，O，D三點(diǎn)共線．根據(jù)等腰三角形的三線合一得到直角三角形ACD．根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CD=CE，則根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得AC的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵AE，AF是⊙O的切線；
∴AE=AF，
又∵AC=AB，
∴AC-AE=AB-AF，
∴CE=BF，即BF=CE．

（2）解：連接AO、OD；
∵O是△ABC的內(nèi)心，
∴OA平分∠BAC，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D是切點(diǎn)，
∴OD⊥BC；
又∵AC=AB，
∴A、O、D三點(diǎn)共線，即AD⊥BC，
∵CD、CE是⊙O的切線，
∴CD=CE=2，
在Rt△ACD中，由∠C=30°，CD=2，得
AC==4．
點(diǎn)評(píng)：此題主要是運(yùn)用了切線長(zhǎng)定理和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)．