Question

在平面直角坐標中，Rt△OAB的兩頂點A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，點O是原點．其中點A（0，3），B（4，0），OC是Rt△OAB的高，點P以每秒1個單位長的速度在線段OB上由點O向點B運動（與端點不重合），過點P作PD⊥AP交AB于點D，設運動時間為t秒．
（1）若△AOE的面積為，求點E的坐標；
（2）求證：△AOE∽△PBD；
（3）△PBD能否是等腰三角形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；
（4）當t=3時，直接寫出此時的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點E作EF⊥OA于F，則EF是△OAE的高，易知OA的長，根據(jù)△OAE的面積即可求得EF的值，易證得△OEF∽△BAO，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得OE的長，也就能得到E點的坐標．
（2）由于AP⊥PD，那么∠DPB和∠EAO同為∠APO的余角，則∠EAO=∠DPB，易證得∠AOE=∠PBD，由此可證得所求的三角形相似．
（3）由于△APD中，∠APD=90°，故∠ADP是銳角，∠BDP是鈍角，若△BPD是等腰三角形，那么∠BDP必為頂角，即DP=BD；由于△AOE∽△PBD，那么△AOE也是等腰三角形，即OE=AE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：AF=FO=，仿照（1）的方法，可通過△OEF∽△BAO，求得EF的長，而△AEF∽△APO，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得OP的長即t的值．
（4）當t=3時，OP=OA=3，則AP=3；由（2）證得△AOE∽△PBD，那么AE：PD=OA：PB，由于OA=3，PB=OB-OP=1，因此AE=3PD，可設PD=x，則AE=3x，易得△AEC∽△ADP，則有：，根據(jù)射影定理可在Rt△ABO中求出AC的長，利用勾股定理可求得EC的表達式，將它們代入上式比例式中，即可求得x的值，進而可得到EC、AE的長，有了AE、AP的長，即可得到AE：EP的值．
解答：（1）解：過點E作EF⊥OA于點F，
∵△AOE的面積為，OA=3，
∴EF=1；
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC，
∠EFO=∠AOB=90°，
∴△OEF∽△BAO，
，即，所以OF=，
∴點E的坐標為（1，）．

（2）證明：∵Rt△OAB中，OC為斜邊AB邊上的高，
∴∠EOA+∠OAC=90°，∠DBP+∠OAC=90°，
∴∠EOA=∠DBP，
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC，
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB，
∴△AOE∽△PBD．

（3）△PBD可以是等腰三角形，
∵∠PDB=90°+∠PAB＞90°，
∴如果△PBD是等腰三角形，∠PDB只能頂角，即DP=DB，
當△PDB是等腰三角形，∵△AOE∽△PBD，
∴△AOE是等腰三角形，且EA=EO；
過點E作EF⊥AO于點F，則AF=OF=；
∵△OEF∽△BAO，
∴，即，所以EF=，
∵△AFE∽△AOP，
∴，即，所以t=，
∴當△PBD是等腰三角形時，t=；

（4）當t=3時，．
點評：此題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定；在解答過程中，反復多次用到了相似三角形的性質(zhì)，能夠?qū)⑺�求線段和已知線段用相似三角形串聯(lián)起來是解答此題的關(guān)鍵．