(2013•江東區(qū)模擬)如圖,拋物線y=
1
4
x2-m2(m>0)與x軸相交于點(diǎn)A、C,與y軸相交于點(diǎn)P,連結(jié)PA、PC,過(guò)點(diǎn)A畫(huà)PC的平行線分別交y軸和拋物線于點(diǎn)B、C1,連結(jié)CB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)A1,在過(guò)點(diǎn)A1畫(huà)AC1的平行線分別交y軸和拋物線于點(diǎn)B1、C2,連結(jié)C1B1并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)A2,…,依次得到四邊形,記四邊形AnBnCnBn-1的面積為Sn
(1)求證:四邊形ABCP是菱形.
(2)設(shè)∠A1B1C1=a,且90°<a<120°,求m的取值范圍.
(3)當(dāng)m=1時(shí),
①填表:
序號(hào) S1 S2 S3 Sn
四邊形的面積
②是否存在2個(gè)四邊形,他們的面積Sp、Sq滿足:Sp×Sq=214(p<q)?若存在,求p、q的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)AB∥PC,AP∥BC可知四邊形ABCP是平行四邊形,再由AP=CP即可得出結(jié)論;
(2)由AC1∥A1C2,A1C∥A2C1,可知∠A1B1C1=∠ABC,再由四邊形ABCP是菱形可知∠ABC=2∠OBC,因?yàn)?0°<∠A1B1C1<120°故45°<∠OBC<60°,再由B(0,m2),C(2m,0)可知tan∠OBC=
2
m
,故可得出結(jié)論;
(3)①根據(jù)梯形的面積公式即可得出結(jié)論.根據(jù)Sp=4(p+1)2,Sq=4(q+1)2即可得出結(jié)論.
解答:解:(1)∵AB∥PC,AP∥BC,
∴四邊形ABCP是平行四邊形,
∵AP=CP,
∴四邊形ABCP是菱形;

(2)∵AC1∥A1C2,A1C∥A2C1,
∴∠A1B1C1=∠ABC,
∵四邊形ABCP是菱形,
∴∠ABC=2∠OBC,
∵90°<∠A1B1C1<120°,
∴45°<∠OBC<60°,
∵B(0,m2),C(2m,0),
∴tan∠OBC=
2
m
,
∴1<
2
m
3
,解得
2
3
3
<m<2;
(3)①
序號(hào) S1  S2  S3  Sn
四邊形的面積  16  36  64  4(n+1)2
②∵Sp=4(p+1)2,Sq=4(q+1)2,
∴Sp•Sq=24(p+1)2(q+1)2=214
∴(p+1)2(q+1)2=210,
∴(p+1)(q+1)=25
p+1=2
q+1=24
p+1=22
q+1=23
,
p=1
q=15
p=3
q=7
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.
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