Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0），（1，-1），（-2，14）三點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設這個二次函數(shù)的圖象與直線y=x+t（t≤1）相交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）兩點（x₁≠x₂）．
①求t的取值范圍；
②設m=y₁²+y₂²，求m與t之間的函數(shù)關系式及m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于圖象過（0，0），（1，-1），（-2，14）三點，可以設出一般式，用待定系數(shù)法解答；
（2）因為二次函數(shù)與直線有兩個交點，根據(jù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)與它們組成的方程組的解的個數(shù)的關系，可以利用根的判別式解答．

解答：解：（1）將（0，0），（1，-1），（-2，14）代入三點，
得

c=0 a+b+c=-1 4a-2b+c=14

，
解得a=2，b=-3，c=0，
二次函數(shù)解析式為y=2x²-3x．

（2）①i）當t=1時，直線y=x+t（t≤1）可化為y=x+1，
代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=2x²-3x得，2x²-4x-1=0，
△=（-4）²-4×2×（-1）=24＞0，
故直線與拋物線有兩個不同的交點．
ii）當直線與拋物線相切時t取得最小值，
把y=x+t代入拋物線y=2x²-3x得，2x²-4x-t=0．
△=（-4）²-4×2×（-t）=0，
即t=-2，
故t的取值范圍是-2＜t≤1；
②∵二次函數(shù)的圖象與直線y=x+t（t≤1）相交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）兩點（x₁≠x₂），
∴2x²-3x=x+t，即2x²-4x-t=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-

t

2

，
∴m=y₁²+y₂²=（x₁+t）²+（x₂+t）²=（x₁+x₂）²+2（x₁+x₂）t+2t²-2x₁x₂=2t²+5t+4，
即m=2t²+5t+4．（m＞0）．

點評：此題將用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點個數(shù)與它們組成的方程組的解的個數(shù)的關系以及根的判別式結合起來，綜合性較強，有一定的難度．