已知菱形ABCD中,∠A60°,對(duì)角線AC、BD相交于O,邊長AB16,以O為圓心,半徑為多長時(shí)所作的圓才能與菱形四條邊都相切?

                  

答案:

QQ截圖20180113142114.png

解:設(shè)⊙O與AB相切于點(diǎn)E,連接OE,過點(diǎn)O分別作OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD.

∵ 四邊形ABCD是菱形 AB=16 ∠DBA=60°

∴ ∠OAB=∠OAD=30° (菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角)

AC⊥BD (菱形的對(duì)角線互相垂直)

∵ AC⊥BD ∠OAB=30° AB=16

 AO=8×3 BO=8 (特殊角度的三角函數(shù)值)

∵ ⊙O與AB相切于點(diǎn)E

∴ OE⊥AB (過切點(diǎn)及圓心的線段垂直于該切線)

∵ AC⊥BD OE⊥AB AO=8×3 BO=8 AB=16

 OE=4×3

∵ ∠OAB=∠OAD OE⊥AB OH⊥AD

∴ OE=OH (角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等)

∴ ⊙O與AD相切于點(diǎn)H (某一線段垂直于過圓心的線段,且垂足到圓心的距離等于該圓的半徑,則該線段是該圓的切線)

同理可得⊙O與BC、CD相切于點(diǎn)F、G

∴ 即⊙O的半徑為4×3時(shí),所作的圓才能與菱形四條邊都相切


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