Question

已知：如圖N3­8，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且PA＝PB.

(1)求證：PB是⊙O的切線；

(2)已知PA＝2 ，BC＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

 (1)證明：連接OB，

∴OA＝OB，PA＝PB.

∴∠OAB＝∠OBA，∠PAB＝∠PBA.

∴∠PAO＝∠PBO.

又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°.

∴∠PBO＝90°，∴OB⊥PB.

又∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線．

(2)解：連接OP，交AB于點(diǎn)D.

∵PA＝PB，OA＝OB，

∴點(diǎn)P和點(diǎn)O都在線段AB的垂直平分線上．

∴OP垂直平分線段AB.∴AD＝BD.

∵OA＝OC，∴OD＝BC＝1.

∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∠AOP＝∠DAP，

∴△APO∽△DPA.

∴＝.∴AP²＝PO·DP.

∴PO(PO－OD)＝AP².

即PO²－1×PO＝(2 )²，解得PO＝4.

在Rt△APO中，OA＝＝2，

即⊙O的半徑為2.