Question

已知拋物線y=﹣x²+mx過點(diǎn)（8，0），
（1）求m的值；
（2）如圖a，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使點(diǎn)C、D落在拋物線上，點(diǎn)A、B落在x軸上，設(shè)矩形ABCD的周長為L，求L的最大值；
（3）如圖b，拋物線的頂點(diǎn)為E，對稱軸與直線y=﹣x+1交于點(diǎn)F．將直線EF向右平移n個(gè)單位后（n>0），交直線y=﹣x+1于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，若以E、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求n的值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=﹣x²+mx過點(diǎn)（8，0），
∴0=﹣×64+8m，
∴m=4；
（2）拋物線y=﹣x²+4x=﹣（x﹣4）²+8，
設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則AB=8﹣2m，D（m，﹣m²+4m），
∴矩形ABCD的周長=2（AD+AB）
=2（8﹣2m﹣m²+4m）
=﹣（m﹣2）²+20，
∵a=﹣1<0，
∴當(dāng)m=2，矩形ABCD的周長的最大值為20；
（3）直線EF向右平移n個(gè)單位（n>0），使得E、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
直線MN的解析式為x=4+n，
直線MN與直線y=﹣x+1交于點(diǎn)M（4+n，﹣n﹣3），
又∵E（4，8），F(xiàn)（4，﹣3），
∴E通過向下平移11個(gè)單位得到F．
∵E、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形FEMN是平行四邊形或四邊形EFNM是平行四邊形．
①當(dāng)四邊形EFMN是平行四邊形，
∴M向下平移11個(gè)單位得N，
∴N坐標(biāo)為（4+n，﹣n﹣14），
又N在拋物線y=﹣x²+4x上，
∴n²﹣2n﹣44=0，
解得：n₁=1+3，n₂=1﹣3（不合題意，舍去） ；
 ②當(dāng)四邊形EFNM是平行四邊形，
∴M向上平移11個(gè)單位得N，
∴N坐標(biāo)為（4+n，﹣n+8），
又N在拋物線y=﹣x²+4x上，
∴n²﹣2n=0，解得：n₁=2，n₂=0（不合題意，舍去），
∴n的值為2，1+3．