Question

（2013•上海模擬）已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，D點(diǎn)為垂足，AC⊥BE，E點(diǎn)為垂足，M點(diǎn)為AB邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)ME、MD、ED．
（1）求證：△MED與△BMD都是等腰三角形；
（2）求證：∠EMD=2∠DAC．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出ME=MD，從而得到△MED是等腰三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出MD=BM，從而得到△BMD是等腰三角形；
（2）根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠MAE=∠MEA，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得到∠BME=2∠MAE，同理求出∠BMD=2∠MAD，然后根據(jù)∠EMD=∠BME-∠BMD整理即可得解．

解答：證明：（1）∵M(jìn)為AB邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=

1

2

AB，MD=

1

2

AB，
∴ME=MD，
∴△MED為等腰三角形；
∵M(jìn)為AB邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，
∴MD=BM=

1

2

AB，
∴△BMD都是等腰三角形；

解：（2）∵M(jìn)E=

1

2

AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理可得：MD=

1

2

AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∵∠EMD=∠BME-∠BMD，
=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．