Question

已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米．兩個動點P、Q分別從A、C兩點同時按順時針方向沿△ABC的邊運動．當點Q運動到點A時，P、Q兩點運動即停止．點P、Q的運動速度分別為1厘米/秒、2厘米/秒，設點P運動時間為t（秒）．
（1）當時間t為何值時，以P、C、Q三點為頂點的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2厘米²；
（2）當點P、Q運動時，陰影部分的形狀隨之變化．設PQ與△ABC圍成陰影部分面積為S（厘米²），求出S與時間t的函數(shù)關系式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）點P、Q在運動的過程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于PC=3-t，CQ=2t，∠C=90°，可表示S_△PCQ，從而求出t的值；
（2）根據運動狀態(tài)，分三種可能情況：①當0＜t≤2時，②當2＜t≤3時，③當3＜t≤4.5時，分別表示陰影部分面積，在②中，S=S_△ABC-S_△APQ，由，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米，用勾股定理可求AB=5厘米，作PH⊥AB于H，利用相似比表示PH，再表示面積；
（3）用（2）的結論，分別求出每一種情況下的最大值（注意自變量取值范圍），再比較，求出整個過程中的最大值．

解答：解：（1）
S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=

1

2

（3-t）•2t=（3-t）t=2，
解得t₁=1，t₂=2．
∴當時間t為1秒或2秒時，S_△PCQ=2厘米²；

（2）①當0＜t≤2時，S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=

1

2

（3-t）•2t=（3-t）t，S=-t²+3t；
②當2＜t≤3時，AQ=9-2t，
作PH⊥AB于H，則△AHP∽△ACB，
∴PH：BC=AP：AB
∴PH=

4

5

t，
∴S=S_△ABC-S_△APQ，即S=

4

5

t²-

18

5

t+6；
③在3＜t≤4.5時，CP=t-AC=t-3，則BP=BC-PC=4-（t-3）=7-t，
∵△ABC∽△PBH，
∴

PH

AC

=

BP

AB

，即

PH

3

=

7-t

5

，
故PH=

21-3t

5

，
又∵BQ=2t-BC=2t-4，
∴S=

1

2

BQ•PH=

1

2

（2t-4）•

21-3t

5

=-

3

5

t²+

27

5

t-

42

5

；

（3）有最大值．
①在0＜t≤2時，S=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

，當t=

3

2

，S有最大值，S₁=

9

4

；
②在2＜t≤3時，S=

4

5

t²-

18

5

t+6=

4

5

（t-

9

4

）²+

39

20

，當t=

9

4

，S有最大值，S₂=

39

20

；
③在3＜t≤4.5時，S=-

3

5

t²+

27

5

t-

42

5

=-

3

5

（t-

9

2

）²+

15

4

，當t=

9

2

，S有最大值，S₃=

15

4

；
∵S₂＜S₁＜S₃
∴t=

9

2

時，S有最大值，S_最大值=

15

4

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的實際運用，以時間t為自變量，面積為函數(shù)，形成二次函數(shù)關系式，再求二次函數(shù)最大值；同時，滲透了分類討論的思想．