Question

如圖，⊙O的半徑OA=3，P是⊙O外一點(diǎn)，OP交⊙O于點(diǎn)B，PB=2，PA=4，
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AD⊥OP于點(diǎn)D，求sin∠DAO的值．

Answer 1

（1）證明：∵OA=3，∴OB=3，
∵PB=2，∴OP=OB+BP=3+2=5，
在△OAP中，∵OA=3，PA=4，OP=5，
∴OA²+AP²=3²+4²=25=5²=OP²，
∴△OAP是直角三角形，且∠OAP=90°．
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：由（1）得∠OAP=90°，
∴∠P+∠O=90°，
∵AD⊥OP，∴∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠O=90°，
∴∠DAO=∠P，
在Rt△OAP中，sin∠DAO=∠P==．
分析：（1）根據(jù)題意可得出OP，根據(jù)勾股定理的逆定理可得出△OAP是直角三角形，從而得出PA是⊙O的切線；
（2）由（1）得出∠DAO=∠P，再在Rt△OAP中，利用三角函數(shù)即可得出sin∠DAO的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、解直角三角形是中考的常見題型，要熟練掌握．