Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過A、B兩點，且其頂點P在⊙C上。

（1）寫出A、B兩點的坐標(biāo)；

（2）確定此拋物線的解析式；

 

Answer 1

【答案】

(1) A（1-，0），B（1+，0）；（2）y=-x2+2x+2．

【解析】

試題分析：（1）過C作AB的垂線，設(shè)垂足為H，在Rt△CAH中，已知圓的半徑和CH的長（由C點坐標(biāo)獲得），利用勾股定理即可求得AH的長，進而可得到點A的坐標(biāo)，B點坐標(biāo)的求法相同．

（2）根據(jù)拋物線和圓的對稱性知：C、P都在弦AB的垂直平分線上，已知了C點坐標(biāo)和圓的半徑，即可得到點P的坐標(biāo)，而P為拋物線頂點，可將所求拋物線設(shè)為頂點坐標(biāo)式，然后將A點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而求出該拋物線的解析式．

試題解析: （1）過點C作CH⊥x軸，H為垂足；

又∵C（1，1），

∴CH=OH=1；（1分）

∴在Rt△CHB中，HB= ；

∵CH⊥AB，CA=CB，

∴AH=BH；

故A（1-，0），B（1+，0）．

（2）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標(biāo)為（1，3）；

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）2+3，

由已知得拋物線經(jīng)過點B（1+，0），

把點B（1+，0）代入上式，

解得a=-1，

∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+2．

考點: 二次函數(shù)綜合題