Question

11．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，-2$\sqrt{2}$），點(diǎn)A是該圖象第一象限分支上的動點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，頂點(diǎn)C在第四象限，AC與x軸交于點(diǎn)D，當(dāng)$\frac{AD}{CD}$=$\sqrt{2}$時，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 連接OC，分別過點(diǎn)A、C作x、y軸的平行線交于E點(diǎn)，CE交x軸于D點(diǎn)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)（m，am），結(jié)合△ACB為等腰直角三角形可以用m、a表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，由相似三角形的對應(yīng)邊之比等于相似比，可得出a的值，再根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，可得出m的值，將a、m代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得結(jié)論．

解答 解：連接OC，分別過點(diǎn)A、C作x、y軸的平行線交于E點(diǎn)，CE交x軸于D點(diǎn)，如圖：

由反比例的性質(zhì)可知，A、B兩點(diǎn)關(guān)于中心O對稱，即OA=OB，
又∵△ACB為等腰直角三角形，
∴CO⊥AB，且OC=OA．
設(shè)直線AB的解析式為y=ax（a＞0），則OC的解析式為y=-$\frac{1}{a}$x，
設(shè)點(diǎn)A（m，am），點(diǎn)C（an，-n），
∵OA=OC，即m²+（am）²=（an）²+n²，
解得n=±m(xù)，
∵A在第一象限，C在第三象限，
∴n=m＞0，
即C（am，-m）．
∵AE∥x軸，CE∥y軸，
∴∠CDF=∠CAE，∠CFD=∠CEA=90°，
∴△CDF∽△CAE，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CD}{CA}$，
又∵$\frac{AD}{CD}$=$\sqrt{2}$，AC=AD+CD，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，
∵點(diǎn)A（m，am），點(diǎn)C（am，-m），
∴點(diǎn)E（am，am），點(diǎn)F（am，0），
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{0-（-m）}{am-（-m）}$=$\frac{1}{a+1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，
即a=$\sqrt{2}$．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，-2$\sqrt{2}$），
∴-2$\sqrt{2}$=$\frac{k}{-1}$，解得k=2$\sqrt{2}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$，
又∵點(diǎn)A（m，am）在反比例函數(shù)的圖象上，且a=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$m=$\frac{2\sqrt{2}}{m}$，解得m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（舍去）．
將a=$\sqrt{2}$，m=$\sqrt{2}$代入點(diǎn)C（am，-m）中，可得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-$\sqrt{2}$）．
故答案為：（2，-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)和反比例函數(shù)等相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是利用反比例函數(shù)的對稱性，設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)（m，am），用a、m去表示B、C的坐標(biāo)，再借助相似三角形的相似比跟點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上求出a、m的值．