Question

【題目】(1) 發(fā)現(xiàn)：

如圖1，點是線段外一動點，且，．當點位于 時，線段的長取得最大值；最大值為 (用含，的式子表示)．

(2)應用：

如圖2，點為線段外一動點，，，分別以，為邊在外部作等邊和等邊，連接，．

①求證：；

②直接寫出線段長的最大值．

(3)拓展：

如圖3，在平面直角坐標系中，點，點，點為線段外一動點，，，，請直接寫出線段長的最大值及此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）線段的延長線上，；（2）①證明見解析；②3；③，（2-，）或（2-，-）．

【解析】

（1）根據(jù)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2，BN=AM，根據(jù)當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為；如圖2，過P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，

∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，

故答案為：CB的延長線上，a+b；

（2）①證明: ∵是等邊三角形.

∴，，

∵是等邊三角形，

∴， ，

∴，

∴，

∴.

在與中，

∴（），

∴.即.

②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值，

由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

∴最大值為BD+BC=AB+BC=3；.

（3）如圖1，

∵將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=3，BN=AM，

∵A的坐標為（3，0），點B的坐標為（5，0），

∴OA=3，OB=5，

∴AB=2，

∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

∴當N在線段BA的延長線上時，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN=AP=3，

∴最大值為3+2；

如圖2，

過P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE=，

∴OE=BO-AB-AE=5-3-=2-，

∴P（2-，）．

如圖3中，

根據(jù)對稱性可知當點P在第四象限時，P（2-，-）時，也滿足條件．

綜上所述，滿足條件的點P坐標（2-，）或（2-，-），AM的最大值為3+2．