Question

如圖，一次函數(shù)y₁=mx+n的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y₂=

k

x

（x＜0）交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，若OB=2，CF=6，

OA

OE

=

1

3

．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）請(qǐng)直接寫出當(dāng)y₁＜y₂時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由一對(duì)直角相等，及一對(duì)對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形ACE與三角形AOB相似，由相似得比例，再由OA與OE的比值求出AE與AO的比值，得到兩三角形的相似比，由OB的長(zhǎng)求出CE的長(zhǎng)，再由CF的長(zhǎng)，確定出C的坐標(biāo)，將C坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式；將B與C坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出m與n的值，確定出一次函數(shù)解析式；
（2）由兩函數(shù)交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象即可得到滿足題意x的范圍．

解答：解：（1）∵∠CEA=∠BOA=90°，∠CAE=∠BAO，
∴△CEA∽△BOA，
∴

CE

OB

=

AE

OA

，
∵

OA

OE

=

1

3

，
∴

OA

AE

=

1

2

，即AE=2OA，
又OA=2，
∴CE=2OB=4，又CF=6，
∴C坐標(biāo)為（-6，4），
將C坐標(biāo)代入y₂=

k

x

中，得：4=

k

-6

，即k=-24，
則反比例解析式為y₂=-

24

x

（x＜0）；
∵OB=2，即B（0，-2），C（-6，4），
將B與C坐標(biāo)代入y₁=mx+n中，得：

n=-2 -6m+n=4

，
解得：

m=-1 n=-2

，
則一次函數(shù)解析式為y₁=-x-2；

（2）由函數(shù)圖象可得：當(dāng)y₁＜y₂時(shí)x的取值范圍為x＞-6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，做題時(shí)注意靈活運(yùn)用．