Question

如圖一，有一個(gè)圓O和兩個(gè)正六邊形T₁，T₂．T₁的六個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，T₂的六條邊都和圓O相切（我們稱T₁，T₂分別為圓O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形）．

（1）請(qǐng)你在備用圖中畫出圓O的內(nèi)接正六邊形，并簡(jiǎn)要寫出作法；
（2）設(shè)圓O的半徑為R，求T₁，T₂的邊長(zhǎng)（用含R的式子表示）；
（3）設(shè)圓O的半徑為R，求圖二中陰影部分的面積（用含R的式子表示）

Answer 1

分析：（1）先畫出60°的圓心角，確定圓心角所對(duì)的弧，在圓上依次截取與弧AB相等的弧即可；
（2）連接OG，得到Rt△OGB≌Rt△OGA，然后利用勾股定理解答；
（3）根據(jù)“陰影部分的面積=外切正六邊形的面積-內(nèi)接正六邊形的面積”，并把正六邊形的面積轉(zhuǎn)化為
六個(gè)三角形面積的和解答．

解答：解：（1）如圖

作法：①在⊙O中做圓心角∠AOB=60°；
②在⊙O上依次截取與弧AB相等的弧，得到圓的6個(gè)等分點(diǎn)A、B、C、D、E、F；
③順次連接各點(diǎn)，六邊形ABCDEF即為所求正六邊形．（4分）

（2）如圖：

∵由（1）知△AOB為等邊三角形，
∴T₁的半徑為R．（6分）
連接OG，可知Rt△OGB≌Rt△OGA，
∴∠OGB=60°，
∴BG=

1

2

OG，
設(shè)BG為x，由勾股定理有：x²+R²=（2x）²，
解得：x=

3

3

R，
外切正六邊形的邊長(zhǎng)為

2 3

3

R．（8分）

（3）由圖知：
陰影部分的面積=外切正六邊形的面積-內(nèi)接正六邊形的面積，
∵內(nèi)接正六邊形的面積為S_△AOB的六倍，S△AOB=

3

4

R2，
∴內(nèi)接正六邊形的面積為：S內(nèi)=6S△AOB=

3 3

2

R2．（9分）
∵外切正六邊形的面積為S_△OGH的六倍，S△OGH=

3

4

•(

2 3

3

R)2=

3

3

R2，
∴外切正六邊形的面積為：S外=6S△OGH=2

3

R2．（10分）
S陰=S外-S內(nèi)=(2

3

-

3 3

2

)R2=

3

2

R2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓和其內(nèi)接正六邊形、外切正六邊形之間的關(guān)系，要轉(zhuǎn)化為正三角來解答．