Question

（2013•建寧縣質(zhì)檢）如圖：已知拋物線y=-

1

m

x2+(1-

2

m

)x+2（m＞0）與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．
（1）若該拋物線過點(diǎn)M（2，2），求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，請(qǐng)?jiān)诘谒南笙迌?nèi)的該拋物線上找到一點(diǎn)P，使△POC的面積等于△ABC面積的

4

3

，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（1）的條件下，請(qǐng)?jiān)趻佄锞�的對(duì)稱軸上找到一點(diǎn)H，使BH+AH最小，并求出H點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出m的值，繼而確定拋物線解析式；
（2）先求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出△ABC的面積，根據(jù)△POC的面積等于△ABC面積的

4

3

，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線可求出橫坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接AC，則AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)是點(diǎn)H的位置，求出其坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)M（2，2）代入二次函數(shù)的解析式得：2=-

1

m

×4+(1-

2

m

)×2+2，
解得：m=4．
故所求二次函數(shù)為：y=-

1

4

x2+

1

2

x+2．

（2）易求得原拋物線與x軸的交點(diǎn)為B（-2，0），C（4，0），
則BC=6，S△ABC=

1

2

×6×2=6，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由題意得，S△POC=

1

2

×4•|y|=2(

1

4

x2-

1

2

x-2)=

1

2

x2-x-4=

4

3

×6，
整理得：x²-2x-24=0，
解得：x₁=-4，x₂=6，
∵P點(diǎn)在第四象限，
∴x=6，y=-4，
∴P（6，-4）．

（3）易求得原拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
連接AC，設(shè)AC所在的直線解析式為y=kx+b，
則有

4k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
故AC所在的直線解析式為：y=-

1

2

x+2，
當(dāng)x=1時(shí)，y=

3

2

，
故點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（1，

3

2

），
即當(dāng)H點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，

3

2

）時(shí)，BH+AH最短．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、軸對(duì)稱求最短路徑及三角形的面積，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．