精英家教網(wǎng)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過O(0,0)、A(4,0)、E(3,-
2
3
3
)三點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)以O(shè)A的中點(diǎn)M為圓心,OM長(zhǎng)為半徑作⊙M,在(1)中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P,過點(diǎn)P作⊙M的切線l,且l與x軸的夾角為30°?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.(注意:本題中的結(jié)果可保留根號(hào)).
分析:(1)設(shè)拋物線的一般式,將O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,解方程組即可;
(2)存在這樣的點(diǎn)P,設(shè)滿足條件的切線l與x軸交于點(diǎn)B,與⊙M相切于點(diǎn)C,連接MC,過C作CD⊥x軸于D,在Rt△BMC中,CM為半徑,∠CBM=30°,可求BM,從而可求B點(diǎn)坐標(biāo),在Rt△CDM中,∠CMD=60°,CM為半徑,可求CD、DM,OD=OM--DM,可確定C點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)“兩點(diǎn)法”求直線BC解析式,聯(lián)立直線解析式、拋物線解析式,解方程組可求P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)圖形的對(duì)稱性求另外兩點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c(a≠0)
由題意得:
c=0
16a+4b+c=0
9a+3b+c=-
2
3
3
(1分)
解得:a=
2
3
9
,b=-
8
3
9
,c=0
(2分)
∴拋物線的解析式為:y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x
(3分)

(2)存在(4分)
拋物線y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x
的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-
8
3
9
)
,作拋物線和⊙M(如圖),
設(shè)滿足條件的切線l與x軸交于點(diǎn)B,與⊙M相切于點(diǎn)C
連接MC,過C作CD⊥x軸于D
∵M(jìn)C=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC
∴∠BCM=90°,∠BMC=60°,BM=2CM=4,
∴B(-2,0)
在Rt△CDM中,∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1,CD=
CM2-DM2
=
3
∴C(1,
3

設(shè)切線l的解析式為:y=kx+b(k≠0),點(diǎn)B、C在l上,精英家教網(wǎng)
可得:
k+b=
3
-2k+b=0

解得:k=
3
3
,b=
2
3
3

∴切線BC的解析式為:y=
3
3
x+
2
3
3

∵點(diǎn)P為拋物線與切線的交點(diǎn),
y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x
y=
3
3
x+
2
3
3
,
解得:
x1=-
1
2
y1=
3
2
,
x2=6
y2=
8
3
3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1(-
1
2
,
3
2
)
,P2(6,
8
3
3
)
;
∵拋物線y=
2
3
9
x2-
8
3
9
x
的對(duì)稱軸是直線x=2
此拋物線、⊙M都與直線x=2成軸對(duì)稱圖形
于是作切線l關(guān)于直線x=2的對(duì)稱直線l′(如圖)
得到B、C關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)B1、C1
直線l′滿足題中要求,由對(duì)稱性,
得到P1、P2關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn):P3(
9
2
,
3
2
)
P4(-2,
8
3
3
)
即為所求的點(diǎn);
∴這樣的點(diǎn)P共有4個(gè):P1(-
1
2
,
3
2
)
,P2(6,
8
3
3
)
,P3(
9
2
,
3
2
)
P4(-2,
8
3
3
)
點(diǎn)評(píng):本題考查了拋物線、直線解析式的求法,圓的切線的性質(zhì),30°直角三角形的性質(zhì).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

28、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到x軸的距離為8,到y(tǒng)軸的距離為6,且點(diǎn)P在第二象限,則點(diǎn)P坐標(biāo)為
(-6,8)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

10、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P1(a,-3)與點(diǎn)P2(4,b)關(guān)于y軸對(duì)稱,則a+b=
-7

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,有A(2,3)、B(3,2)兩點(diǎn).
(1)請(qǐng)?jiān)偬砑右稽c(diǎn)C,求出圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)反思第(1)小問,考慮有沒有更簡(jiǎn)捷的解題策略?請(qǐng)說出你的理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,開口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),D是拋物線的頂點(diǎn),O為精英家教網(wǎng)坐標(biāo)原點(diǎn).A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程x2-4x-12=0的兩根,且cos∠DAB=
2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

18、在平面直角坐標(biāo)系中,把一個(gè)圖形先繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為θ,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k得到一個(gè)新的圖形,我們把這個(gè)過程記為【θ,k】變換.例如,把圖中的△ABC先繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為2得到一個(gè)新的圖形△A1B1C1,可以把這個(gè)過程記為【90°,2】變換.
(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
(2)若△OMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案