Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D，切線DE⊥AC，垂足為點E.

求證：(1)△ABC是等邊三角形；(2)AE=CE.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，從而得到平行線，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，則∠A=∠B，得到AC=BC，從而證明該三角形是等邊三角形；
（2）再根據(jù)在圓內(nèi)直徑所對的角是直角這一性質(zhì)，推出30°的直角三角形，根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半即可證明．

詳解：證明：(1)如圖所示，連接OD.

∵DE是☉O的切線，∴OD⊥DE.

∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠BDO=∠A.

又由OB=OD得∠OBD=∠ODB，

∴∠OBD=∠A.∴BC=AC.

又∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形.

(2)連接CD，則CD⊥AB，

由(1)知AC=BC，

∴D是AB的中點.∴AD=AB.

在Rt△ADE中，∵∠A=60°，∴AE=ADcos A=AD.

∴AE=AD=AB=AC，

∴EC=3AE，∴AE=CE.