Question

已知關(guān)于的方程.

1.求證：無論取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根；

2.若為整數(shù)，且拋物線與軸兩交點(diǎn)間的距離為2，求拋物線的解析式

3.若直線與（2） 中的拋物線沒有交點(diǎn)，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

1.分兩種情況討論.

①   當(dāng)時(shí)，方程為　

∴　方程有實(shí)數(shù)根  -----------------------------1分

②當(dāng)，則一元二次方程的根的判別式

＝

∴不論為何實(shí)數(shù)，成立，

∴方程恒有實(shí)數(shù)根  -----------------------------------------3分

綜合①、②，可知取任何實(shí)數(shù)，方程恒有實(shí)數(shù)根

2.設(shè)為拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

令， 則

由求根公式得， ， -------------------------------------5分

∴拋物線不論為任何不為0的實(shí)數(shù)時(shí)恒過定點(diǎn)-----------------------6分

∵

∴

∴ 或，----------------------------------------------------------8分

∴  或（舍去）

∴求拋物線解析式為， ----------------------------------------9分

3.由  ，得　

     ∴  --------------------------------------10分

∵直線與拋物線沒有交點(diǎn)

∴

∴　 -------------------------------------11分

所以，當(dāng)， 直線與（2）中的拋物線沒有交點(diǎn). --------------12分

【解析】（1）分兩種情況討論．①當(dāng)m=0時(shí)，方程為x-2=0求出方程的解x=2；②當(dāng)m≠0，則得到一個(gè)一元二次方程，求出方程的根的判別式△=（m+1）²得出不論m為何實(shí)數(shù)，△≥0成立，即可得到答案；

（2）設(shè)x₁，x₂為拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．求出方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的解x₁=2，x₂= ，根據(jù)題意得出|2-x₂|=2，求出x，x₂=0或x₂=4，進(jìn)一步求出m即可；

（3）把方程組 ，轉(zhuǎn)化成方程x²-3x-b=0，根據(jù)題意求出△=9+4b＜0，解不等式即可．