如圖，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4，MA=1，MB＞1．以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面積？
（1）∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x．
∴
1+x＞3-x
1+3-x＞x
，
解得1＜x＜2；

（2）①若AC為斜邊，則1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，無(wú)解，
②若AB為斜邊，則x2=（3-x）2+1，解得x=
5
3
，滿足1＜x＜2，
③若BC為斜邊，則（3-x）2=1+x2，解得x=
4
3
，滿足1＜x＜2，
∴x=
5
3
或x=
4
3
；

（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，
設(shè)CD=h，△ABC的面積為S，則S=
1
2
xh，
①若點(diǎn)D在線段AB上，
則
1-h2
+
(3-x)2-h2
=x，
∴(3-x)2-h2=x2-2x
1-h2
+1-h2，
即x
1-h2
=3x-4，
∴x2（1-h2）=9x2-24x+16，
即x2h2=-8x2+24x-16．
∴S2=
1
4
x2h2=-2x2+6x-4=-2（x-
3
2
）2+
1
2
（
4
3
≤x＜2），
當(dāng)x=
3
2
時(shí)（滿足
4
3
≤x＜2）S2取最大值
1
2
，從而S取最大值
2
2
；
②若點(diǎn)D在線段MA上，
則
(3-x)2-h2
-
1-h2
=x，
同理可，得
S2=
1
4
x2h2=-2x2+6x-4
=-2（x-
3
2
）2+
1
2
（1＜x≤
4
3
），
易知此時(shí)S＜
2
2
，
綜合①②得，△ABC的最大面積為
2
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖1，點(diǎn)A是直線y=kx（k＞0，且k為常數(shù)）上一動(dòng)點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y=（x-h）2+m交直線y=kx于另一點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B，交直線EF于點(diǎn)C．（點(diǎn)A，E，F(xiàn)兩兩不重合）
（1）請(qǐng)寫出h與m之間的關(guān)系；（用含的k式子表示）
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使EF與x軸平行時(shí)（如圖2），求線段AC與OF的比值；
（3）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)F的位置最低時(shí)（如圖3），求線段AC與OF的比值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)：A______，B______，C______，______，AD的中點(diǎn)E______；
（2）求以E為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C的拋物線的解析式；
（3）求對(duì)角線BD與上述拋物線除點(diǎn)B以外的另一交點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）△PEB的面積S△PEB與△PBC的面積S△PBC具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖1，拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過(guò)A（-1，0），C（3，2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx-1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)E（1，-1）作EF⊥x軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ（點(diǎn)M，N，Q分別與點(diǎn)A，E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)），使點(diǎn)M，N在拋物線上，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)s取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，請(qǐng)直接寫出P′點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)（-1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB于D，三邊長(zhǎng)a，b，c能使二次函數(shù)y=
1
2
(c+a)x2-bx+
1
2
(c-a)的頂點(diǎn)在x軸上，且a是方程z2+z-20=0的一個(gè)根．
（1）證明：∠ACB=90°；
（2）若設(shè)b=2x，弓形面積S弓形AED=S1，陰影部分面積為S2，求（S2-S1）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)b為何值時(shí)，（S2-S1）最大？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，某中學(xué)生推鉛球，鉛球在點(diǎn)A處出手，在點(diǎn)B處落地，它的運(yùn)行路線滿足y=-
1
12
x2+
2
3
x+
5
3
，則這個(gè)學(xué)生推鉛球的成績(jī)是______米．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線y=x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在線段AD上任意取一點(diǎn)E（不與A、D重合），經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的圓交直線AC于點(diǎn)F，試判斷△BEF的形狀．

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