Question

如圖，菱形ABCD的頂點A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=

2

3

x2+bx+c經(jīng)過B點，且頂點在直線x=

5

2

上．
（1）求拋物線對應的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物線一定過點C、D；
（2）若M點是該拋物線上位于C、D之間的一動點，求△CDM面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）把二次函數(shù)的解析式化為頂點式y(tǒng)=a（x-h）²+m，因為頂點在直線x=

5

2

上，所以h=

5

2

，然后再把點B的坐標代入其中求出m的值即可得到二次函數(shù)的解析式．再利用A和B的坐標得出線段OA，OB的長，利用勾股定理求出AB，又四邊形為菱形得出它的四條邊長，從而得出點C和點D的坐標，分別把兩點的橫坐標代入二次函數(shù)的解析式中求出y的值，從而判斷出拋物線一定過點C、D．
（2）先利用點C和點D的坐標求出直線CD的解析式，設(shè)出M的橫坐標為t，因為MN∥y軸，所以N的橫坐標也為t，分別把兩點的橫坐標代入到拋物線和直線CD的解析式中表示出它們的縱坐標，讓其縱坐標相減即可得到MN的長l與t的二次函數(shù)關(guān)系式，求出t=-

b

2a

=

7

2

時MN有最大值為

3

2

，然后把MN當作三角形CMN和三角形DMN的公共底，分別表示出三角形CMN和三角形DMN的面積，兩三角形面積相加即為三角形CDM的面積，因為三角形CMN和三角形DMN的高之和為定值，所以當三角形的底MN取最大值時三角形CDM的面積最大．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)所求拋物線對應的函數(shù)關(guān)系式為y=

2

3

(x-

5

2

)2+m，
∴4=

2

3

×(-

5

2

)2+m，
∴m=-

1

6

，（2分）
∴所求函數(shù)關(guān)系式為：y=

2

3

(x-

5

2

)2-

1

6

=

2

3

x2-

10

3

x+4，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）．
當x=5時，y=

2

3

×52-

10

3

×5+4=4，
當x=2時，y=

2

3

×22-

10

3

×2+4=0，
∴點C和點D在所求拋物線上；

（2）設(shè)直線CD對應的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則

5k+b=4 2k+b=0

，
解得：k=

4

3

，b=-

8

3

．
∴y=

4

3

x-

8

3

，（6分）
∵MN∥y軸，M點的橫坐標為t，
∴N點的橫坐標也為t．
則yM=

2

3

t2-

10

3

t+4，yN=

4

3

t-

8

3

，
∴l=yN-yM=

4

3

t-

8

3

-(

2

3

t2-

10

3

t+4)=-

2

3

t2+

14

3

t-

20

3

=-

2

3

(t-

7

2

)2+

3

2

，
∵-

2

3

＜0，
∴當t=

7

2

時，l最大=

3

2

，

S△CDM=S△MND+S△MNC= 1 2 MN•h1+ 1 2 MN•h2= 1 2 MN•(h1+h2) ∴S△CDM最大= 1 2 × 3 2 ×(5-2)= 9 4

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有菱形的性質(zhì)和三角形的面積求法．本題的難點是第二問，學生要弄懂△CDM面積的最大值滿足的條件．