Question

19．觀察下列各等式及驗證過程．
$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2}{3}}$，驗證$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{1}{2×3}}$=$\sqrt{\frac{2}{{2}^{2}×3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2}{3}}$；
$\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{3}{8}}$，驗證：$\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）}$=$\sqrt{\frac{1}{2×3×4}}$=$\sqrt{\frac{3}{2×{3}^{2}×4}}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{3}{8}}$；
$\sqrt{\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{4}{15}}$，驗證：$\sqrt{\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）}$=$\sqrt{\frac{1}{3×4×5}}$=$\sqrt{\frac{4}{3×{4}^{2}×5}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{4}{15}}$．
（1）按照上述三個等式及其驗證過程的基本思想，猜想$\sqrt{\frac{1}{4}（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）}$的變形結(jié)果并進行驗證．
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式，并證明．

Answer 1

分析 （1）觀察已知等式，將原式進行適當變形得到結(jié)果，驗證即可；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出結(jié)果，驗證即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\sqrt{\frac{1}{4}（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）}$=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{5}{24}}$，
等式左邊=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{30}}$=$\sqrt{\frac{1}{120}}$，右邊=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{25}{120}}$=$\sqrt{\frac{1}{120}}$，
左邊=右邊，成立；
（2）歸納總結(jié)得：$\sqrt{\frac{1}{n+1}（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）}$=$\frac{1}{n+2}$$\sqrt{\frac{n+2}{（n+1）（n+3）}}$（n為正整數(shù)），
證明：等式左邊=$\sqrt{\frac{1}{（n+1）（n+2）（n+3）}}$，右邊=$\frac{1}{n+2}$$\sqrt{\frac{（n+2）^{2}}{（n+1）（n+2）（n+3）}}$=$\sqrt{\frac{1}{（n+1）（n+2）（n+3）}}$，
左邊=右邊，成立．

點評 此題考查了實數(shù)的運算，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．