Question

如圖：一次函數y=-x+m的圖象與二次函數y=ax²+bx-4的圖象交于x軸上一點A，且交y軸于點B，點A的坐標為（-2，0）．
（1）求一次函數的解析式；
（2）設二次函數y=ax²+bx-4的對稱軸為直線x=n（n＜0），n是方程2x²-3x-2=0的一個根，求二次函數的解析式；
（3）在（2）條件下，設二次函數交y軸于點D，在x軸上有一點C，使以點A、B、C組成的三角形與△ADB相似．試求出C點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A坐標代入一次函數求出m的值，即可得解；
（2）先解一元二次方程求出二次函數的對稱軸，然后根據對稱軸與點A的坐標列出方程組求出a、b的值，即可得解；
（3）利用一次函數解析式求出點B的坐標，利用二次函數解析式求出點D的坐標，并判斷出△AOB是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出AB的長度，∠OAB=∠OBA=45°，然后根據△ABD中沒有45°的角和∠ABD=135°判斷出∠BAC和∠ABD是對應角為135°，從而判斷出點C在點A的左邊，再分AC和BD，AC和AB是對應邊兩種情況，根據相似三角形對應邊成比例列式求出AC的長度，再求出OC的長度，從而得解．
解答：解：（1）∵一次函數y=-x+m圖象經過點A（-2，0），
∴-（-2）+m=0，
∴m=-2，
∴一次函數解析式為y=-x-2；

（2）由2x²-3x-2=0得，x₁=-，x₂=2，
∴二次函數y=ax²+bx-4的對稱軸為直線x=-，
∴，
解得，
∴二次函數的解析式為y=2x²+2x-4；

（3）令x=0，一次函數與y軸的交點B（0，-2），
二次函數與y軸的交點為D（0，-4），
∴△AOB是等腰直角三角形，BD=-2-（-4）=2，
∴AB==2，∠OAB=∠OBA=45°，
∵△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BAC和∠ABD是對應角為135°，
∴點C在點A的左邊，
①AC和BD是對應邊時，∵△ADB∽△BCA，
∴==1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
點C的坐標為（-4，0），
②AC和AB是對應邊時，∵△ADB∽△CBA，
∴==，
∴AC=AB=×2=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴點C的坐標為（-6，0），
綜上所述，在x軸上有一點C（-4，0）或（-6，0），使以點A、B、C組成的三角形與△ADB相似．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求一次函數解析式，解一元二次方程，待定系數法求二次函數解析式，相似三角形對應邊成比例的性質，難點在于（3）要分情況討論．