Question

如圖，圓O是Rt△ABC的外接圓，點D是劣弧AC上異于A，C點的一點，連接AD并延長交BC的延長線于點E．
（1）求證：△BDE∽△ACE；
（2）若AB=BE=10，CE=3，則AD的長是多少？
（3）若CD∥AB，過點A作AF∥BC交CD的延長線于點F，則=______．（請直接寫出答案）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，求出∠ACB=∠ADB=90°，推出∠BDE=∠ACE，又因為∠CAE=∠DBE，即可推出△ACE和△BDE相似；
（2）根據(jù)勾股定理求出AC、AE，根據(jù)相似得出比例式，代入求出BD長，在△ABD中，根據(jù)勾股定理求出AD即可；
（3）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出=，===1+，代入即可求出答案．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠BDE=180°-∠ADB=90°，
同理∠ACE=90°=∠BDE，
∵∠CAE=∠DBE（同弧CD所對的圓周角），
∴△BDE∽△ACE．

（2）解：在△ACB中，BC=10-3=7，AB=10，
由勾股定理得：AC==，
同理由勾股定理求出AE=2，
∵△BDE∽△ACE，
∴=，
∴=，
∴BD=，
在△ABD中，由勾股定理得：AD===，
答：AD的長是．

（3）解：結果是1，
理由是：∵CD∥AB，AF∥BC，
∴=，=，
∴-=-=-=+1-=1．
故答案為：1．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，平行線分線段成比例定理，三角形的外接圓與外心等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，通過做此題培養(yǎng)學生運用定理進行分析問題能力，同時也培養(yǎng)了學生運用定理進行推理的能力．