Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A，B，直線CD與x軸、y軸分別交于點C，D，AB與CD相交于點E，線段OA，OC的長是一元二次方程x²﹣18x+72=0的兩根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．

（1）求點A，C的坐標；

（2）若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點E，求k的值；

（3）若點P在坐標軸上，在平面內(nèi)是否存在一點Q，使以點C，E，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請寫出滿足條件的點Q的個數(shù)，并直接寫出位于x軸下方的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

       解：（1）∵x²﹣18x+72=0

∴x₁=6，x₂=12．

∵OA＞OC，

∴OA=12，OC=6．

∴A（12，0），C（﹣6，0）；

（2）∵tan∠ABO=，

∴=，

∴，

∴OB=16．

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB==20．

∵BE=5，

∴AE=15．

如圖1，作EM⊥x軸于點M，

∴EM∥OB．

∴△AEM∽△ABO，

∴，

∴，

∴EM=12，AM=9，

∴OM=12﹣9=3，

∴E（3，12），

∴12=，

∴k=36；

（3）滿足條件的點Q的個數(shù)是6，如圖2所示，

x軸的下方的Q₄（10，﹣12），Q₆（﹣3，6﹣3）；

如圖①，∵E（3，12），C（﹣6，0），

∴CG=9，EG=12，

∴EG²=CG•GP，

∴GP=16，

∵△CPE與△PCQ中心對稱，

∴CH=GP=16，QH=EG=12，

∵OC=6，

∴OH=10，

∴Q（10，﹣12），

如圖②∵E（3，12），C（﹣6，0），

∴CG=9，EG=12，

∴CE=15，

∵MN=CG=，

∴MK=﹣3=，

∴PK==3，

∴PH=3﹣=3﹣6，

根據(jù)軸對稱和中心對稱的性質(zhì)，

∴Q（﹣3，6﹣3），