Question

（2013•樂山）如圖，已知直線y=4-x與反比例函數(shù)y=

m

x

（m＞0，x＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別相交于C，D兩點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，利用函數(shù)圖象求關(guān)于x的不等式4-x＜

m

x

的解集；
（2）是否存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，把將A（1，3）代入y=

m

x

求出m，聯(lián)立函數(shù)解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出不等式的解集；
（2）點(diǎn)A、B在直線y=4-x上，則可設(shè)A（a，4-a），B（b，4-b）；以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P（1，0），則由圓周角定理得∠APB=90°，易證Rt△ADP∽Rt△PEB，列比例式求得a、b的關(guān)系式為：5（a+b）-2ab=17 ①；而點(diǎn)A、B又在雙曲線上，可推出a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的兩個(gè)根，得a+b=4，ab=m，代入①式求出m的值．

解答：解：（1）將x=1代入直線y=4-x得，y=4-1=3，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
將A（1，3）代入y=

m

x

（m＞0，x＞0）得，
m=3，
則反比例函數(shù)解析式為y=

3

x

，
組成方程組得

y= 3 x y=4-x

，
解得，x₁=1，x₂=3，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）．
當(dāng)不等式4-x＜

m

x

時(shí)，0＜x＜1或x＞3．

（2）點(diǎn)A、B在直線y=4-x上，則可設(shè)A（a，4-a），B（b，4-b）．
如右圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，則AD=4-a，PD=1-a；
過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BE=4-b，PE=b-1．
∵點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，
∴∠APB=90°（圓周角定理）．
易證Rt△ADP∽Rt△PEB，
∴

AD

PE

=

PD

BE

，即

4-a

b-1

=

1-a

4-b

，
整理得：5（a+b）-2ab=17   ①
∵點(diǎn)A、B在雙曲線y=

m

x

上，
∴a（4-a）=m，b（4-b）=m，
∴a²-4a+m=0，b²-4b+m=0，
∴a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的兩個(gè)根，
∴a+b=4，ab=m．
代入①式得：5×4-2m=17，
解得：m=

3

2

．
∴存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P（1，0），此時(shí)m=

3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題（2）問的時(shí)候一定注意三點(diǎn)構(gòu)成圓的條件，此題難度較大．