Question

已知，如圖①，∠MON=60°，點(diǎn)A、B為射線OM、ON上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B不與點(diǎn)O重合），且AB=，在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有一點(diǎn)P，且AP=BP，∠APB=120°.
 
（1）求AP的長(zhǎng)；
（2）求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上；
（3）如圖②，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點(diǎn)，連接CD，DE，EF，F(xiàn)C，OP.
①當(dāng)AB⊥OP時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形CDEF的周長(zhǎng)；
②若四邊形CDEF的周長(zhǎng)用t表示，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

（1）4；（2）過(guò)點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S， PT⊥ON于點(diǎn)T，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得∠SPT的度數(shù)，即可得到∠APS=∠BPT，再結(jié)合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可證得△APS≌△BPT，從而證得結(jié)論；（3）①8+4；②4+4＜t≤8+4

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得AQ的長(zhǎng)，∠APQ的度數(shù)，在Rt△APQ中，根據(jù)∠APQ的正弦函數(shù)即可求得結(jié)果；
（2）過(guò)點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S， PT⊥ON于點(diǎn)T，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得∠SPT的度數(shù)，即可得到∠APS=∠BPT，再結(jié)合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可證得△APS≌△BPT，從而證得結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的中位線定理即可求得結(jié)果.
（1）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q 
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4，
∴AQ=AB=×4=2，∠APQ=∠APB=×120°=60°
在Rt△APQ中，sin∠APQ=
∴AP=＝4
（2）過(guò)點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S， PT⊥ON于點(diǎn)T

∴∠OSP=∠OTP=90°
在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°
∴∠APS=∠BPT
又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
∴△APS≌△BPT
∴PS=PT
∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上；
（3）①8+4 
②4+4＜t≤8+4.
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意及圖形，正確作出輔助線，同時(shí)熟記三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.