Question

大力發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)并提高科技含量，盡快縮短我國(guó)農(nóng)業(yè)與西方發(fā)展國(guó)家的差距，是“兩會(huì)”的熱點(diǎn)話題之一．某地區(qū)積極響應(yīng)國(guó)家的號(hào)召，研發(fā)并種植出一種綠色蔬菜，全部用來(lái)出口，由于供不應(yīng)求，準(zhǔn)備擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，為調(diào)動(dòng)菜農(nóng)的積極性，從今年起，該市決定對(duì)這種蔬菜的種植實(shí)行政府補(bǔ)貼；經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：種植畝數(shù)y（畝）與每畝補(bǔ)貼x（元），滿足函數(shù)關(guān)系：y=8x+1600．每畝蔬菜的收益Z（元）與每畝補(bǔ)貼x（元）的一次函數(shù)關(guān)系如圖所示，且每畝收益要求不低于2100元．
（1）求出Z與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；并寫出x的取值范圍；
（2）政府每畝補(bǔ)貼多少元時(shí)，這種蔬菜的總收益最大，并求出最大值；
（3）由于今年上半年受持續(xù)干旱等自然因素的影響，這種出口蔬菜每畝的實(shí)際收益將會(huì)減少x元，若今年要使這種蔬菜的總收益達(dá)到640萬(wàn)元，則政府每畝應(yīng)補(bǔ)貼多少元？
（參考數(shù)據(jù)：

41

=6.403，結(jié)果保留到整數(shù)位）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求解Z與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；
（2）總收益=（-3x+3000）（8x+1600），化簡(jiǎn)-24x²+19200x+4800000，求最大最小值．
（3）使（Z-x）（8x+1600）=640萬(wàn)，求x．

解答：解：（1）設(shè)Z與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為：Z=kx+b，
把點(diǎn)（0，3000），（100，2700）代入上式，
得：Z=-3x+3000，
∵每畝收益要求不低于2100元，即Z=-3x+3000≥2100，
∴x≤300；

（2）總收益=（-3x+3000）（8x+1600）
=-24x²+19200x+4800000，
此函數(shù)為二次函數(shù)，開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為最大值，即x=-

b

2a

=400，
∵x≤300，
∴當(dāng)x=300時(shí)，函數(shù)取得最大值，
∵將300代入解析式得出最大值為8400000，
當(dāng)政府補(bǔ)貼300元時(shí)，總收益最大為8400000．

（3）（Z-x）（8x+1600）=6400000，
即-32x²+17600x+4800000=6400000，
得x=275+25

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≈435＞300（不合題意，舍去）或x=275-25

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≈115
所以政府每畝應(yīng)補(bǔ)貼115元．

點(diǎn)評(píng)：利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決際問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用二次函數(shù)最大最小值求解．