Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=20cm，CD=25cm．動點P、Q同時從A點出發(fā)：點P以3cm/s的速度沿A?D?C的路線運動，點Q以4cm/s的速度沿A?B?C的路線運動，且P、Q兩點同時到達點C．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）設P、Q兩點運動的時間為t（秒），四邊形APCQ的面積為S（cm²），試求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的t，使得四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DE⊥BC于點E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理得EC=15cm．由題意得
=，由此可以求出AD的長，然后可以求出梯形的面積；
（2）設P、Q兩點運動的時間為t，則點P運動的路程為3t（cm），點Q運動的路程為4t（cm）．
①當0＜t≤時，P在AD上運動，Q在AB上運動，此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t；
②當＜t≤5時，P在DC上運動，Q在AB上運動，此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60；
③當5＜t＜10時，P在DC上運動，Q在BC上運動，此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)關系式，分別把已知梯形面積的代入其中就可以求出相應的t，然后結合已知條件進行取舍
最后得到t的取值．
解答：解：（1）過點D作DE⊥BC于點E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．
在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理得EC=15cm．由題意得=，
∴=．解得AD=5．
∴梯形ABCD的面積===250（cm²）．

（2）當P、Q兩點運動的時間為t（秒）時，點P運動的路程為3t（cm），點Q運動的路程為4t（cm）．
①當0＜t≤時，P在AD上運動，Q在AB上運動．
此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t．
②當＜t≤5時，P在DC上運動，Q在AB上運動．
此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60．
③當5＜t＜10時，P在DC上運動，Q在BC上運動．
此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．

（3）①當0＜t≤時，由S=70t=250×，解得t=．
②當＜t≤5時，由S=34t+60=250×，解得t=．
又∵＜t≤5，
∴t=不合題意，舍去．
③當5＜t＜10時，由S=-46t+460=250×，
解得t=．
∴當t=或t=時，四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的．
點評：在有關動點的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對各種可能出現(xiàn)的圖形對每一種可能的情形都分別進行研究和求解．換句話說，分類思想在動態(tài)問題中運用最為廣泛．