Question

已知，直角梯形ABCD中，較短底AB=a，較長(zhǎng)底DC=c，垂直于底的腰BC=b，以另一腰AD為直徑作⊙O．
（1）如圖，若⊙O與BC相切于點(diǎn)E，試判斷ax²+bx+c=0根的情況，并證明你的結(jié)論；
（2）直接指出⊙O與BC相交，相離時(shí)方程ax²+bx+c=0的根的情況．

Answer 1

解：（1）如圖1所示：
設(shè)CD與⊙O交于點(diǎn)H，連接AH，
∵AD是直徑，
∴∠AHD=90，
∴AH∥BC，
∴AB=CH，BC=AH，
∵E是切點(diǎn)，
∴OE⊥BC，
∴AB∥OE∥CD，
∴OE=（AB+CD），
在Rt△AHD中，
AD²=AH²+DH²，
即2OE²=BC²+DH²，
即 （a+c）²-（c-a）²=b²，
化簡(jiǎn)得：b²=4ac
∴方程的△=b²-4ac=0，所以有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

（2）如圖2，相交時(shí)，結(jié)合（1）中所求即可得出：
直徑AD＞a+c，b²-4ac＜0，方程無(wú)實(shí)根．
如圖3，相離時(shí)，
即可得出：
直徑AD＜a+c，b²-4ac＞0，．方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
分析：（1）連OH，先求半徑為梯形中位線，所以AB=a+c，從A向BC作垂線，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可得AD²=AH²+DH²，進(jìn)而得出△=b²-4ac=0，即可得出答案；
（2）由（1）可得出⊙O與BC相交，相離時(shí)方程ax²+bx+c=0的根的情況．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根的判別式以及勾股定理和直線與圓的位置等知識(shí)，根據(jù)已知構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．