Question

【題目】已知,如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A. 點(diǎn)B重合)，先將矩形ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，CF交AD于點(diǎn)H.

(1)求證：△AEG∽△DHC；

(2)若折疊過程中，CF與AD的交點(diǎn)H恰好是AD的中點(diǎn)時(shí)，求tan∠BEC的值；

(3)若折疊后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)F落在矩形ABCD的對(duì)稱軸上，求此時(shí)AE的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3 （3）或.

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=4，AD=BC=6，∠A=∠B=∠D=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠F=∠B=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AEG=∠DHC，于是得到結(jié)論；

（2）由點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，得到AH=DH=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH=，得到AG=AD-GH-DH=，BE=2，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；

（3）分兩種情況考慮：F在橫對(duì)稱軸上與F在豎對(duì)稱軸上，分別求出BF的長即可．

(1)∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，

∴CD=AB=4,AD=BC=6,∠A=∠B=∠D=90°，

∵將矩形ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，

∴∠F=∠B=90°，

∵∠AGE=∠FGH，∠FHG=∠DHC，

∵∠FGH+∠FHG=90°，

∴∠AGE+∠DHC=90°，

∵∠AEG+∠AGE=90°，

∴∠AEG=∠DHC，

∴△AEG∽△DHC；

(2)∵點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，

∴AH=DH=3，

∵CD=4，

∴CH=5，FH=1，

∵∠F=∠D=90°，∠FHG=∠DHC，

∴△FHG∽△DHC，

∴，

∴GH=，

∴AG=ADGHDH=，

∵△AEG∽△DHC，

∴，

∴AE=1，

∴BE=2，

∴tan∠BEC==3,

(3)當(dāng)F在橫對(duì)稱軸MN上,如圖2所示,此時(shí)CN=CD=2，CF=BC=6，

∴FN=，

∴MF=，

由折疊得，EF=BE，EM=2BE，

∴，

即，

∴BE=，

∴AE=

當(dāng)F在豎對(duì)稱軸MN上時(shí),如圖3所示,此時(shí)AB∥MN∥CD，

∴∠BEC=∠FOE，

∵∠BEC=∠FEC，

∴∠FEC=∠FOE，

∴EF=OF，

由折疊的性質(zhì)得,BE=EF,∠EFC=∠B=90°，

∵BN=CN，

∴OC=OE，

∴FO=OE，

∴△EFO是等邊三角形，

∴∠FEC=60°，

∴∠BEC=60°，

∴BE=BC=，

∴AE=.

綜上所述,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)F落在矩形ABCD的對(duì)稱軸上,此時(shí)AE的長是或.