Question

如圖，直線y=

1

2

x+1分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，C，點(diǎn)P是直線AC與雙曲線y=

k

x

在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，PB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，△APB的面積為4．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求雙曲線的解析式及直線與雙曲線另一交點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求出直線y=

1

2

x+1與x軸，y軸于點(diǎn)A，C，根據(jù)點(diǎn)P在直線y=

1

2

x+1上，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，

1

2

m+1），根據(jù)S_△APB=

1

2

AB•PB就可以得到關(guān)于m的方程，求出m的值．
（2）根據(jù)△APB的面積為4．就可以得到k=4，解反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式組成的方程組，就得到直線與雙曲線的交點(diǎn)．

解答：解：（1）y=

1

2

x+1，令x=0，則y=1；令y=0，則x=-2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）．（1分）
∵點(diǎn)P在直線y=

1

2

x+1上，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，

1

2

m+1），
又∵S_△APB=

1

2

AB•PB=4，
∴

1

2

（2+m）（

1

2

m+1）=4．（2分）
即：m²+4m-12=0，
∴m₁=-6，m₂=2．
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴m=2．（3分）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；（4分）

（2）∵點(diǎn)P在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=xy=2×2=4．（5分）
∴雙曲線的解析式為y=

4

x

．（6分）
解方程組

y= 4 x y= 1 2 x+1

得

x1=2 y1=2

，

x2=-4 y2=-1

（8分）
∴直線與雙曲線另一交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-4，-1）．（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及函數(shù)圖象上的點(diǎn)與解析式的關(guān)系，圖象上的點(diǎn)一定滿足函數(shù)解析式．