Question

已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是△ABC的中線AD上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合．將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AQ，使∠PAQ=∠BAC，連接BP，CQ
（1）求證：BP=CQ．
（2）設(shè)直線BP與直線CQ相交于點(diǎn)E，∠BAC=α，∠BEC=β，
①若點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)（不與點(diǎn)A重合），則“α與β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
②若點(diǎn)P在直線AD上移動(dòng)（不與點(diǎn)A重合）．則α與β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠PAC=∠BAC-∠PAC，即∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP=CQ；
（2）解：①若點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)（不與點(diǎn)A重合），此時(shí)α=β，理由如下：
由（1）知△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABO和△ECO中，∠AOB=∠EOC，∠ABP=∠ACQ，
∴∠BAC=∠BEC，即α=β；
②若點(diǎn)P在直線AD上移動(dòng)（不與點(diǎn)A重合），α與β之間的數(shù)量關(guān)系是相等或互補(bǔ)，
相等理由同①；互補(bǔ)理由為：如圖所示，
由（1）知△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
又∠ACQ=∠ECO，
∴∠ABP=∠ECO，又∠EOC=∠AOB，
∴△ECO∽△AOB，
∴∠CEO=∠OAB，
∵∠PEQ+∠CEO=180°，
∴∠PEQ+∠BAC=180°，即α+β=180°．

分析：（1）由∠PAQ=∠BAC，等式左右兩邊都減去∠PAC，得到∠BAP=∠CAQ，由旋轉(zhuǎn)得到AP=AQ，再由AB=AC，利用SAS得出△ABP≌△ACQ，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得證；
（2）①若點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)（不與點(diǎn)A重合），α=β，理由為：由（1）知△ABP≌△ACQ，得到對(duì)應(yīng)角∠ABP=∠ACQ，再由一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAC=∠BEC，即α=β；
②若點(diǎn)P在直線AD上移動(dòng)（不與點(diǎn)A重合），如圖所示，同理可得α與β之間相等或互補(bǔ)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合性較強(qiáng)的探究型題．