Question

對(duì)于正整數(shù)n，規(guī)定n!=1×2×…×n．則乘積1!×2!×…×9!的所有約數(shù)中，是完全平方數(shù)的共有

672

個(gè)．

Answer 1

分析：先把1!×2!×…×9!的積分解質(zhì)因數(shù)，再求出最大完全平方約數(shù)的平方根的個(gè)數(shù)，再根據(jù)積的約數(shù)的個(gè)數(shù)即是原數(shù)完全平方因數(shù)的個(gè)數(shù)即可得出結(jié)論．

解答：解：把積分解質(zhì)因數(shù)，得30個(gè)2，13個(gè)3，5個(gè)5，3個(gè)7；
最大完全平方約數(shù)的平方根為15個(gè)2，6個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7；
它的約數(shù)的個(gè)數(shù)即是原數(shù)完全平方因數(shù)的個(gè)數(shù)，即（15+1）×（6+1）×（2+1）×（1+1）=672個(gè)．
故答案為：672．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是完全平方數(shù)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意把1!×2!×…×9!的積分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)它的約數(shù)的個(gè)數(shù)即是原數(shù)完全平方因數(shù)的個(gè)數(shù)即可得出結(jié)論．