Question

如圖，在半徑為5的⊙O中，點(diǎn)A、B在⊙O上，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC與OB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，設(shè)AC=x，BD=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（2）如果⊙O₁與⊙O相交于點(diǎn)A、C，且⊙O₁與⊙O的圓心距為2，當(dāng)BD=OB時(shí)，求⊙O₁的半徑；
（3）是否存在點(diǎn)C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，請(qǐng)證明；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

解：（1）過⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E，
∴AE=，OE=．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴，∵OD=y+5，∴．
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：．
定義域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/213246.png' />．

（2）當(dāng)BD=OB時(shí)，，．
∴x=6．
∴AE=，OE=．
當(dāng)點(diǎn)O₁在線段OE上時(shí)，O₁E=OE-OO₁=2，．
當(dāng)點(diǎn)O₁在線段EO的延長(zhǎng)線上時(shí)，O₁E=OE+OO₁=6，．
⊙O₁的半徑為或．

（3）存在，當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)，△DCB∽△DOC．
證明如下：∵當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
∴存在點(diǎn)C，使得△DCB∽△DOC．

分析：（1）過⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E．通過證明△ODE∽△AOE求得，然后將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)求其定義域；
（2）當(dāng)BD=OB時(shí)，根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式求得y=，x=6．分兩種情況來解答O₁A的值①當(dāng)點(diǎn)O₁在線段OE上時(shí)，O₁E=OE-OO₁=2；②當(dāng)點(diǎn)O₁在線段EO的延長(zhǎng)線上時(shí)，O₁E=OE+OO₁=6；
（3）當(dāng)點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)時(shí)，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=，然后由三角形的內(nèi)角和定理求得
∠DCB=45°，由等量代換求得∠DCB=∠BOC．根據(jù)相似三角形的判定定理AA證明△DCB∽△DOC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理．此題很復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性質(zhì)解答，解答（2）時(shí)注意分兩種情況討論，不要漏解．