Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同側(cè)分別以AB、BC、AC為直徑作三個半圓．圖中陰影部分的面積分別記作為S₁和S₂．
（1）求證：S₁+S₂=S_△ABC；
（2）若Rt△ABC的周長是2+

6

，斜邊長為2，求圖中陰影部分面積的和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題給圖形可知：S₁+S₂=

1

2

π（

1

2

AC）²+

1

2

π（

1

2

BC）²-

1

2

π（

1

2

AB）²+S_△ABC，又在Rt△ABC中BC²+AC²=AB²，繼而即可得出答案；
（2）要求陰影部分的面積求出Rt△ABC的面積即可，也即求出

1

2

AC•BC即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，有BC²+AC²=AB²…（1分）
∴S₁+S₂=

1

2

π（

1

2

AC）²+

1

2

π（

1

2

BC）²-

1

2

π（

1

2

AB）²+S_△ABC
=

1

8

π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC．…（4分）
（2）∵AB+AC+BC=2+

6

，AB=2，
∴AC+BC=

6

．…（5分）
兩邊平方得：AC²+BC²+2AC•BC=6，
又AC²+BC²=AB²=4，
∴2AC•BC=2，AC•BC=1．
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

．
∴圖中陰影部分面積的和為

1

2

．…（8分）

點評：本題考查勾股定理的知識，解題關鍵是找出各個圖形之間的關系，證得S₁+S₂=S_△ABC，難度一般．